Question

11．在四面体PABC中，PA=PB=PC=5，AB=BC=AC=6，点E、F、G都是所在边的中点，E、F、G这三点所确定的平面与直线AB相交于点D．
（1）证明：点D是线段AB的中点；
（2）求异面直线PD与BC所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知得EF∥BC，从而BC∥平面EFG．从而DG∥BC．由此得到AD=DB，从而能证明点D是线段AB的中点．
（2）连PG，由（1）知DG∥BC，∠PDG的大小等于异面直线PD与BC所成角的大小或其补角的大小，由此能求出异面直线PD与BC所成的角大小．

解答 证明：（1）∵PE=EB，PF=FC，∴EF∥BC，
∴BC∥平面EFG．
又由BC∥平面EFG，过BC作平面ABC与平面EFG相交交线为DG，
则DG∥BC．
∵AG=GC，∴AD=DB，点D是线段AB的中点．…（4分）
解：（2）连PG，由（1）知DG∥BC，
∠PDG的大小等于异面直线PD与BC所成角的大小或其补角的大小．…（6分）
在△PDG中，DG=3，$PD=PG=\sqrt{{5^2}-{3^2}}=4$，
$cos∠PDG=\frac{1.5}{4}=\frac{3}{8}$，$∠PDG=arccos\frac{3}{8}$．
∴异面直线PD与BC所成的角大小等于$arccos\frac{3}{8}$．…（8分）

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．