Question

6．已知${（{\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{4}{x}}}}）^n}$的展开式中，前三项系数成等差数列．
（1）求第三项的二项式系数及项的系数；
（2）求含x项的系数．

Answer 1

分析 （1）根据前三项系数1，$\frac{1}{2}$$c_n^1$，$\frac{1}{4}$$c_n^2$成等差数列，求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得第三项的二项式系数及项的系数．
（2）利用二项式展开式的通项公式求得含x项的系数．

解答 解：（1）∵前三项系数1，$\frac{1}{2}$$c_n^1$，$\frac{1}{4}$$c_n^2$成等差数列．  
∴2•$\frac{1}{2}$$c_n^1$=1+$\frac{1}{4}$$c_n^2$，即n²-9n+8=0．∴n=8或n=1（舍）．
通项公式T_r+1=$c_8^r$•（$\sqrt{x}$）^8-r•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{-\frac{r}{4}}$=2^-r•${C}_{8}^{r}$•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$，r=0，1，…，8．
∴第三项的二项式系数为${C}_{8}^{2}$=28．第三项系数为 ${C}_{8}^{2}$•$\frac{1}{4}$=7．
（2）令4-$\frac{3}{4}$r=1，得r=4，∴含x项的系数为${（{\frac{1}{2}}）^4}$•$c_8^4$=$\frac{35}{8}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．