Question

16．新疆某中学共有教师32人，其中男教师12人，女教师20人，这32名教师的身高如下面的茎叶图所示（单位：cm）．为“打击疆独分子，确保学校师生安全”，校委会决定：身高在175cm以上（含175cm）的男教师和身高在172cm以上（含172cm）的女教师组成“校外巡逻队”，其余教师组成“校内巡逻队”．
（1）若用分层抽样的方法从“校外巡逻队员”和“校内巡逻队员”中抽取中选8人，然后在从这8人中选3人，求至少有1人是“校外巡逻队员”的概率；
（2）若从所有“校外巡逻队员”中选2人作为“校外巡逻队”队长，用X表示“校外巡逻队”队长为女教师的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图得“校外巡逻队员”有12人，“校内巡逻队员”有20人，用分层抽样在“校外巡逻队员”选3人，“校内巡逻队员”中选5人，由此能求出从这8人中选3人，至少有1人是“校外巡逻队员”的概率．
（2）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由茎叶图得身高在175cm以上（含175cm）的男教师有8人，身高在172cm以上（含172cm）的女教师有4人，
∴“校外巡逻队员”有12人，“校内巡逻队员”有20人，
用分层抽样的方法从“校外巡逻队员”和“校内巡逻队员”中抽取中选8人，
则“校外巡逻队员”选：$\frac{8}{32}×12$=3人，“校内巡逻队员”选：$\frac{8}{32}×20$=5人，
从这8人中选3人，至少有1人是“校外巡逻队员”的概率：
p=1-$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=1-$\frac{10}{56}$=$\frac{23}{28}$．
（2）由题意X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{28}{66}$=$\frac{14}{33}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{32}{66}$=$\frac{16}{33}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{6}{66}$=$\frac{1}{11}$，
∵X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{14}{33}$	$\frac{16}{33}$	$\frac{1}{11}$

EX=$0×\frac{14}{33}+1×\frac{16}{33}+2×\frac{1}{11}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．