Question

13．已知每项均大于零的数列{a_n}中，首项a₁=1且前n项和S_n满足S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$（n∈N^*且n≥2），则a₈₁=640．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}=2$，由此可得数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式后可得S_n，再由a₈₁=S₈₁-S₈₀求解．

解答 解：由已知S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$，可得$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}（\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}）=2\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$，
∵a_n＞0，
∴$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}＞0$，
则$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}=2$，
∴数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以1为首项，2为公差的等差数列，
故$\sqrt{{S}_{n}}$=2n-1，即S_n=（2n-1）²，
∴a₈₁=S₈₁-S₈₀=161²-159²=640．
故答案为：640．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．