Question

19．某地植被面积 x（公顷）与当地气温下降的度数y（℃）之间有如下的对应数据：

x（公顷）	20	40	50	60	80
y（℃）	3	4	4	4	5

（1）请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehaty=\hat bx+\hat a$；
（2）根据（1）中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少℃？
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{y}_{i}）-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）先求出五对数据的平均数，求出年份和人口数的平均数，得到样本中心点，把所给的数据代入公式，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出a的值，从而得到线性回归方程．
（2）（2）把当x=200时，代入线性回归方程，得到8.5°C，即下降的气温大约是多少8.5°C．

解答 解：（1）$\overline x=\frac{20+40+50+60+80}{5}=50$，$\overline y=\frac{3+4+4+4+5}{5}=4$．$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=20×3+40×4+50×4+60×4+80×5=1060$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}={20^2}+{40^2}+{50^2}+{60^2}+{80^2}=14500$．
所以 $\hat b=\frac{1060-5×50×4}{{14500-5×{{50}^2}}}=0.03$，$\hat a=4-0.03×50=2.5$．
故y关于x的线性回归方程$\widehaty=0.03x+2.5$．
（2）由（1）得：当x=200时，$\widehaty=0.03×200+2.5=8.5$．
所以植被面积为200公顷时，下降的气温大约是8.5°C．

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，是一个新课标中出现的新知识点，已经在广东的高考卷中出现过类似的题目，属于基础题．