Question

7．如图AC₁是棱长为2的正方体，M为B₁C₁的中点，给出下列命题：
①AB₁与BC₁成60°角；
②若$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{N{C}_{1}}$，面A₁MN交CD于E，则CE=$\frac{1}{3}$；
③P点在正方形ABB₁A₁边界及内部运动，且MP⊥DB₁，则P点轨迹长等于$\sqrt{2}$；
④E，F分别在DB₁和A₁C₁上，且$\frac{DE}{E{B}_{1}}$=$\frac{{A}_{1}F}{F{C}_{1}}$=2，直线EF与AD₁，A₁D所成角分别是α，β，则α+β=$\frac{π}{2}$．
其中正确的命题有①③④．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①根据异面直线所成的角进行求解．
②建立坐标系，利用四点共面建立方程关系进行求解，
③根据直线垂直确定P的运动轨迹，
④根据异面直线所成角的定义进行求解即可．

解答 证明：①连接AD₁，B₁D₁，则AD₁∥BC₁，
则△AB₁D₁是正三角形，
则AD₁与AB₁所成的角即为AB₁与BC₁成的角，
即AB₁与BC₁成60°角；故①正确，

②若$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{N{C}_{1}}$，面A₁MN交CD于E，则CE=$\frac{1}{3}$；

建立以D₁为坐标原点，D₁A₁，D₁C₁，D₁D分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A₁（2，0，0），M（1，2，0），N（0，2，$\frac{3}{2}$），
设DE=t，则E（0，t，2），
∵A₁，M，N，E四点共面，
∴存在实数x，y使$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=x$\overrightarrow{{A}_{1}M}$+y$\overrightarrow{{A}_{1}N}$，
即（-2，t，2）=x（-1，2，0）+y（-2，2，$\frac{3}{2}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{-x-2y=-2}\\{2x+2y=t}\\{\frac{3}{2}y=2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\\{t=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，则DE=$\frac{4}{3}$，CE=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
故②错误，
③取A₁B₁的中点H，BB₁的中点K，
连接HM，HM，HK，
则DB₁⊥HM，DB₁⊥KM，
则DB₁⊥平面HKM，
若MP⊥DB₁，则M在平面HKM中，则M∈HK，
则HK=$\sqrt{2}$HB₁=$\sqrt{2}$，即P点在正方形ABB₁A₁边界及内部运动，且MP⊥DB₁，则P点轨迹长等于$\sqrt{2}$正确，故③正确；

④建立如图的空间坐标系如图，
则A₁（2，0，0），D（0，0，2），A（2，0，2），B₁（2，2，0），
则$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（2，0，2），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，-2），
∵E，F分别在DB₁和A₁C₁上，且$\frac{DE}{E{B}_{1}}$=$\frac{{A}_{1}F}{F{C}_{1}}$=2，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=$\frac{2}{3}$（2，2，-2）=（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
则E（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），
$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{2}{3}$（-2，2，0）=（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，0），
则F（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，0），
则$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{2}{3}$，0，-$\frac{2}{3}$），
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{{D}_{1}A}$＞|=|$\frac{-\frac{4}{3}-\frac{4}{3}}{\sqrt{4+4}•\sqrt{（-\frac{2}{3}）^{2}+（-\frac{2}{3}）^{2}}}$|=$\frac{\frac{8}{3}}{2\sqrt{2}•\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=1，
则α=0
cosβ=|cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{D{A}_{1}}$＞|=|$\frac{-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}{\sqrt{4+4}•\sqrt{（-\frac{2}{3}）^{2}+（-\frac{2}{3}）^{2}}}$|=0，
则β=$\frac{π}{2}$，即α+β=$\frac{π}{2}$，故④正确，

故答案为：①③④．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线所成角，线面垂直的位置关系等，综合性较强，难度较大．