Question

17．已知数列{a_n}的各项均为整数，其前n项和为S_n．规定：若数列{a_n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r-1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a_n}为“r关联数列”．
（1）若数列{a_n}为“6关联数列”，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出S_n，并证明：对任意n∈N^*，a_nS_n≥a₆S₆；
（3）若数列{a_n}为“6关联数列”，当n≥6时，在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，求d_n，并探究在数列{d_n}中是否存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）若数列{a_n}为“6关联数列”，{a_n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，可得a₆=a₁+5，a₅=a₁+4，且$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=2，解得a₁，即可求数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）得${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{7}{2}n，n≤4}\\{{2}^{n-4}-7，n≥5}\end{array}\right.$，可见数列{a_nS_n}的最小项为a₆S₆=-6，即可证明：对任意n∈N^*，a_nS_n≥a₆S₆．
（3）由（1）知，当n≥6时，${a}_{n}={2}^{n-5}$，由此能求出${d}_{n}=\frac{{2}^{n-5}}{n+1}$．假设在数列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列），则（d_k）²=d_md_p，推导出k=m=p，这与题设矛盾．故在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为“6关联数列”，
∴{a_n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，
∴a₆=a₁+5，a₅=a₁+4，且$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=$\frac{{a}_{1}+5}{{a}_{1}+4}$=2，解得a₁=-3，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n-4，n≤4}\\{{2}^{n-5}，n≥5}\end{array}\right.$．
（2）由（1）得${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{7}{2}n，n≤4}\\{{2}^{n-4}-7，n≥5}\end{array}\right.$，
{a_n}：-3，-2，-1，0，1，2，2²，2³，2⁴，2⁵，…，
{S_n}：-3，-5，-6，-6，-5，-3，1，9，25，…
{a_nS_n}：9，10，6，0，-5，-6，4，72，400，…，
可见数列{a_nS_n}的最小项为a₆S₆=-6，
证明：a_nS_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n（n-4）（n-7），n≤5}\\{{2}^{n-5}（{2}^{n-4}-7），n≥6}\end{array}\right.$，
列举法知当n≤5时，（a_nS_n）_min=a₅S₅=-5；
当n≥6时，a_nS_n=2•（2^n-5）²-7•2^n-5，n≥6，
设t=2^n-5，则a_nS_n=2t²-7t=2（t-$\frac{7}{4}$）²-7t=2（t-$\frac{7}{4}$）²-$\frac{49}{8}$≥2•2²-7•2=-6．
（3）由（1）知，当n≥6时，${a}_{n}={2}^{n-5}$，
∵a_n+1=a_n+（n+2-1）d_n，
2^n-4=2^n-5+（n+1）d_n，∴${d}_{n}=\frac{{2}^{n-5}}{n+1}$．
假设在数列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列），
则（d_k）²=d_md_p，
∴（$\frac{{2}^{k-5}}{k+1}$）²=$\frac{{2}^{m-5}}{m+1}•\frac{{2}^{p-5}}{p+1}$，$\frac{{2}^{2k-10}}{（k+1）^{2}}=\frac{{2}^{m+p-10}}{（m+1）（p+1）}$，（*）
∵m，p，k成等差数列，∴m+p=2k，（*）式可化简为（k+1）²=（m+1）（p+1），
即k²=mp，∴k=m=p，这与题设矛盾．
∴在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查满足条件的三项是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．