Question

16．设数列{a_n}满足：a_n+1=4+a_n，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n为a_n与a_n+1的等比中项，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}^{2}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）直接利用等差数列的通项公式即得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=4+a_n，且a₁=1，
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3；
（2）由（1）可知${{b}_{n}}^{2}$=a_na_n+1=（4n-3）（4n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{4n+1}$）
=$\frac{n}{4n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．