Question

已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
①f(0)=f(

π

4

)=1；②f（m+n）+f（m-n）=2f（m）cos2n+8sin²n（m，n∈R）．
则（1）f(

π

2

+x)+f(x)=

4

；
（2）函数f（x）的最大值是

2+

2

．

Answer 1

分析：（1）将

π

2

+x变形为（

π

4

+x）+

π

4

，x变形为（

π

4

+x）-

π

4

，根据题意代入②中，利用特殊角的三角函数值化简即可求出值；
（2）令m=

π

4

，n=

π

4

+x，根据题意代入②中，利用特殊角的三角函数值化简，表示出f（

π

2

+x）+f（-x），记作（i），令m=0，n=x，根据题意代入②中，利用特殊角的三角函数值化简，表示出f（

π

2

+x）-f（-x），记作（ii），（ii）-（i）表示出f（x）-f（-x），记作③，令m=0，n=x，根据题意代入②中，利用特殊角的三角函数值化简，表示出f（x）+f（-x），记作④，（③+④）÷2得到f（x）的解析式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可求出函数的最大值．

解答：解：（1）由题意得：f（

π

2

+x）+f（x）=f[（

π

4

+x）+

π

4

]+f[（

π

4

+x）-

π

4

]=2f（

π

4

+x）cos

π

2

+8sin²

π

4

=8×（

2

2

）²=4；
（2）令m=

π

4

，n=

π

4

+x，
根据题意得：f（

π

4

+

π

4

+x）+f（

π

4

-

π

4

-x）=f（

π

2

+x）+f（-x）
=2f（

π

4

）cos（

π

2

+2x）+8sin²（

π

4

+x）=4-2sin2x（i），
又由（1）得f（

π

2

+x）+f（x）=4（ii），
∴（ii）-（i）得：f（x）-f（-x）=4-（4-2sin2x）=2sin2x③，
令m=0，n=x，
根据题意得：f（0+x）+f（0-x）=f（x）+f（-x）=2cos2x+8sin²x=2cos2x+8×

1-cos2x

2

=4-2cos2x④，
（③+④）÷2得：f（x）=2-（sin2x+cos2x）=2-

2

sin（2x+

π

4

），
∵sin（2x+

π

4

）∈[-1，1]，
∴f（x）的最大值为2+

2

．
故答案为：（1）4；（2）2+

2

点评：此题考查了函数解析式的求解及常用的方法，函数的值，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，弄清题意中的①和②是解本题的关键．