Question

【题目】已知函数f(x)＝aln x＋ (a∈R)．

(1)当a＝1时，求f(x)在x∈[1，＋∞)内的最小值；

(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(3)求证ln(n＋1)> ＋＋＋…＋ (n∈N*)．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋，定义域为(0，＋∞)．

因为f′(x)＝－＝>0，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在x∈[1，＋∞)内的最小值为f(1)＝1.

(2)f′(x)＝－＝，因为f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)<0有正数解，即ax2＋2(a－1)x＋a<0有正数解．

①当a＝0时，明显成立．

②当a<0时，h(x)＝ax2＋2(a－1)x＋a是开口向下的抛物线，所以ax2＋2(a－1)x＋a<0有正数解．

③当a>0时，h(x)＝ax2＋2(a－1)x＋a是开口向上的抛物线，即方程ax2＋2(a－1)x＋a＝0有正根．

因为x1x2＝1>0，所以方程ax2＋2(a－1)x＋a＝0有两正根，

所以解得0<a<.

综合①②③知，a<.

(3)证明：当n＝1时，ln(n＋1)＝ln 2，

∵3ln 2＝ln 8>1，∴ln 2>，即当n＝1时，不等式成立．

设当n＝k时，ln(k＋1)> ＋＋…＋成立．

当n＝k＋1时，ln(n＋1)＝ln(k＋2)＝ln(k＋1)＋ln>＋＋…＋＋ln.

根据(1)的结论可知，当x>1时，ln x＋>1，即ln x>.

令x＝，所以ln>，则有ln(k＋2)> ＋＋…＋＋，即当n＝k＋1时，不等式也成立．

综上可知不等式成立．