Question

【题目】设函数。

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；

（2）若对任意恒成立，求的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，极小值为2（2）

【解析】试题分析：（1）因为切线的斜率为0，所以由导数几何意义得，求导列式，得，从而导函数零点为，列表分析区间符号得在上单调递减，在上单调递增，再由极值定义知当时， 取得极小值．（2）分类变量得，因此构造函数则在上单调递减，也即在上恒成立，再分类变量得得最大值，因此

试题解析：（1）由条件得，

∵曲线在点处的切线与直线垂直，∴此切线的斜率为0，即，有，得，

∴，由得，由得．

∴在上单调递减，在上单调递增，当时， 取得极小值．

故的单调递减区间为，极小值为2

（2）条件等价于对任意恒成立，

设．

则在上单调递减，

则在上恒成立，

得恒成立，

∴（对仅在时成立），

故的取值范围是