Question

【题目】在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝。

(1)求证：平面EBC⊥平面EBD；

(2)设M为线段EC上一点，且3EM＝EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解：(1)证明：因为AD＝1，CD＝2，AC＝，

所以AD2＋CD2＝AC2，

所以△ADC为直角三角形，且AD⊥DC.

同理，因为ED＝1，CD＝2，EC＝，

所以ED2＋CD2＝EC2，

所以△EDC为直角三角形，且ED⊥DC.

又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥DE，

又AD∩DC＝D，所以ED⊥平面ABCD.

又BC平面ABCD，所以ED⊥BC.

在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于点H，

故四边形ABHD是正方形，所以∠ADB＝45°，BD＝。

在Rt△BCH中，BH＝CH＝1，所以BC＝，

故BD2＋BC2＝DC2，所以BC⊥BD.

因为BD∩ED＝D，BD平面EBD，ED平面EBD，

所以BC⊥平面EBD，

又BC平面EBC，所以平面EBC⊥平面EBD.

(2)在线段BC上存在一点T，使得MT∥平面BDE，此时3BT＝BC.

连接MT，在△EBC中，因为＝＝，所以MT∥EB.

又MT平面BDE，EB平面BDE，

所以MT∥平面BDE。