Question

已知椭圆的右焦点F，左、右准线分别为l₁：x＝－m－1，l₂：x＝m＋1，且l₁、l₂分别与直线y＝x相交于A、B两点．
(1)若离心率为，求椭圆的方程；
(2)当·<7时，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）

(1)由已知，得c＝m，＝m＋1，从而a²＝m(m＋1)，b²＝m.
由e＝，得b＝c，从而m＝1.故a＝，b＝1，得所求椭圆方程为＋y²＝1.
(2)易得A(－m－1，－m－1)，B(m＋1，m＋1)，从而＝(2m＋1，m＋1)，＝(1，m＋1)，故·＝2m＋1＋(m＋1)²＝m²＋4m＋2<7，得0<m<1.
由此离心率e＝＝，故所求的离心率取值范围为