Question

如图，已知焦点在轴上的椭圆经过点，直线
交椭圆于不同的两点．

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使△是以为直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）见解析

试题分析：（1）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程．
（2）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数m满足题意，再利用△ABM为直角三角形，结合向量垂直的条件求出m，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
试题解析：解：（1）依题意，解得，    2分
所以椭圆的标准方程是．      3分
（2）由得，           4分
直线与椭圆有两个不同的交点，
            6分
解得                          7分
（3）假设存在实数满足题意，则由为直角得，        8分
设，，由（2）得，    9分
，   10分
，             11分

             12分
得   13分
因为，
综上所述，存在实数使△为直角三角形．    14分