Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，线段的长为4.点在椭圆上且位于第一象限，过点，分别作，，直线，交于点.

（1）若点的横坐标为-1，求点的坐标；

（2）直线与椭圆的另一交点为，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)先求出椭圆的方程，设直线的方程为.分别表示出直线与的方程，联立方程组，求出点的坐标,利用点的横坐标为，求出，进而可求出点的坐标；(2 )联立消去，整理得，求得.由，可得 ,结合即可求出的取值范围.

（1）设直线的斜率为，，

由题意得，，

所以，，，

所以椭圆的方程为.

因为点在椭圆上，且位于第一象限，

所以，，直线的方程为.

因为，

所以，

所以直线的方程为.

联立，解得，

即.

因为，所以，

则直线的方程为.

因为，所以.

则直线的方程为.

联立，解得，

即.

因为点的横坐标为-1，

所以，解得.

因为，

所以.将代入可得，

点的坐标为.

（2）设，，又直线的方程为.

联立消去，整理得，

所以，

解得.

因为，

所以 .

因为，

所以.