Question

（2006•蚌埠二模）设函数f（x）=（x+1）ⁿ（n∈N），且当x=

2

时，f（x）的值为17+12

2

；g（x）=（x+a）^m（a≠1，a∈R），定义：F（x）=

C

2m+1 4n-7

f（x）-

C

2n+9 4m+1

g（x）．
（1）当a=-1时，F（x）的表达式．
（2）当x∈[0，1]时，F（x）的最大值为-65，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先确定n，m的值，进而可得函数解析式；
（2）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用F（x）的最大值为-65，即可求a的值．

解答：解：∵f（x）=（x+1）ⁿ，f（

2

）=17+12

2

，∴n=4  …（2分）
又∵

4n-7≥2m+1 4m+1≥2n+9

，∴m=4，
∴F（x）=（x+1）⁴-（x+a）⁴…（4分）
（1）当a=-1时，F（x）=（x+1）⁴-（x+a）⁴=8x³+8x   …（6分）
（2）∵F（x）=（x+1）⁴-（x+a）⁴=4（1-a）x³+6（1-a²）x²+4（1-a³）x+1-a⁴
∵F′（x）=12（1-a）x²+12（1-a²）x+4（1-a³）    …（8分）
△=[12（1-a²）]²-4•12（1-a）•4（1-a³）=-48（1-a）⁴＜0       （a≠1）
①当1-a＞0时，F′（x）＞0，F（x）为增函数．
∵x∈[0，1]
∴F（1）=-65∴2 ⁴-（1+a）⁴=-65
∴1+a=±3
∴a=-4或a=2（舍去）
②当1-a＜0时，F′（x）＜0，F（x）为减函数．
∴F（0）=-65，∴1⁴-a⁴=-65
∴a=

4	66

a=-

4	66

（舍去）
综上：a=

4	66

或a=-4   …（12分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查导数知识，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．