Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{|x+7|+|x-1|-m}$的定义域为R．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式|x-3|-2x＜2m-12．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数定义域，等价为|x+7|+|x-1|-m≥0恒成立，利用绝对值不等式的性质，即可得到结论；
（Ⅱ）由题意可得m=8，不等式|x-3|-2x＜2m-12即为|x-3|-2x＜4，对x讨论，去绝对值，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\sqrt{|x+7|+|x-1|-m}$的定义域为R，
∴等价为|x+7|+|x-1|-m≥0，
即|x+7|+|x-1|≥m，
∵|x+7|+|x-1|≥|（x+7）-（x-1）|=8，
当且仅当（x+7）（x-1）≤0，取得等号，
∴m≤8，
故实数m的取值范围是（-∞，8]，
（Ⅱ）由题意可得m=8，不等式|x-3|-2x＜2m-12即为
|x-3|-2x＜4，
当x≥3时，x-3-2x＜4，解得x＞-7，即为x≥3；
当x＜3时，3-x-2x＜4，解得x＞-$\frac{1}{3}$，即为-$\frac{1}{3}$＜x＜3．
综上可得，x＞-$\frac{1}{3}$，
则不等式的解集为（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用，主要考查函数的恒成立问题及定义域的求法，属于中档题．