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已知函数y=f(x)是定义在R上的函数.
(1)若函数y=f(x)满足:f(xy)=f(x)+f(y),f(
1
3
)=1

①求f(1),f(
1
9
)
的值,
②若函数y=f(x)是定义域为R+的减函数,且f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范围.
(2)若函数y=f(x)对一切x∈R满足f(x+2)=-f(x),求证:f(x)是周期函数;
(3)若函数y=f(x)对一切x、y∈R满足f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)是奇函数.
分析:(1)①令x=y=1,可求得f(1),又f(
1
3
)=1,从而可求f(
1
9
);
②依题意,f[x(2-x)]<f(
1
9
),利用y=f(x)是定义域为R+的减函数,即可求得x的取值范围;
(2)f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=f(x),从而可证f(x)是周期函数;
(3)分别令x=y=0与y=-x,即可求得f(-x)=-f(x),从而可证f(x)是奇函数.
解答:解:(1)①令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0,
∵f(
1
3
)=1,
∴f(
1
9
)=f(
1
3
×
1
3
)=f(
1
3
)+f(
1
3
)=2;
②由①知f(
1
9
)=2,
∴f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]<f(
1
9
),
又函数y=f(x)是定义域为R+的减函数,
得:
x(2-x)>
1
9
x>0
2-x>0
,解之得:x∈(1-
2
2
3
,1+
2
2
3
).
(2)因函数y=f(x)对一切x∈R满足f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
∴y=f(x)是以T=4为周期的周期函数.
(3)因函数y=f(x)对一切x、y∈R满足f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令x=y=0得:f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,
∴令y=-x,得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),
即f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
点评:本题考查抽象函数及其应用,着重考查赋值法,考查函数的周期性.奇偶性的判断与证明,属于中档题.
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