Question

17．设S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，则S_n=-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 a_n+1=S_nS_n+1，可得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=S_nS_n+1，∴S_n+1-S_n=S_nS_n+1，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为-1，公差为-1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
解得S_n=-$\frac{1}{n}$．
故答案为：$-\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．