Question

8．已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且（b-2c）cosA=a-2acos²$\frac{B}{2}$．
（1）求角A的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，且△ABC是锐角三角形．求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在锐角△ABC中，根据条件利用正弦定理可得 （sinB-2sinC）cosA=sinA（-cosB），化简可得cosA=$\frac{1}{2}$，由此可得A的值．
（2）由正弦定理可得 $\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=2，可得b+c=2（sinB+sinC）=2 $\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）．由 $\left\{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$求得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得b+c的取值范围．

解答 解：（1）在锐角△ABC中，根据（b-2c）cosA=a-2acos² $\frac{B}{2}$=a-2a•$\frac{1+cosB}{2}$，
利用正弦定理可得 （sinB-2sinC）cosA=sinA（-cosB），
即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，
即sinC=2sinCcosA，∴cosA=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）若a=$\sqrt{3}$，则由正弦定理可得 $\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=2，
∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（ $\frac{2π}{3}$-B）]=3sinB+$\sqrt{3}$cosB=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）．
由于 $\left\{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，求得 $\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$．
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴b+c∈（3，2 $\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．