Question

16．设x＞0，y＞0，已知（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x+1）（$\sqrt{{y}^{2}+1}$-y+1）=2，则xy-2=-1．

Answer 1

分析 设x=tanα＞0，y=tanβ＞0，代入已知条件，运用三角函数恒等变换公式，化简整理，即可得到所求值．

解答 解：设x=tanα＞0，y=tanβ＞0，
则（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x+1）（$\sqrt{{y}^{2}+1}$-y+1）=2
即为（$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$-tanα+1）（$\sqrt{1+ta{n}^{2}β}$-tanβ+1）=2，
即有（secα-tanα+1）（secβ-tanβ+1）=2，
即$\frac{1-sinα+cosα}{cosα}$•$\frac{1-sinβ+cosβ}{cosβ}$=2，
由$\frac{2co{s}^{2}\frac{α}{2}-2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}{（cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}）（cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}）}$=$\frac{2cos\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}}$=$\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}}$，
可得$\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}}$•$\frac{2}{1+tan\frac{β}{2}}$=2，
即有（1+tan$\frac{α}{2}$）（1+tan$\frac{β}{2}$）=2，
即tan$\frac{α}{2}$+tan$\frac{β}{2}$=1-tan$\frac{α}{2}$tan$\frac{β}{2}$，
可得tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{tan\frac{α}{2}+tan\frac{β}{2}}{1-tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}$=1，
由α，β为锐角，可得$\frac{α+β}{2}$=45°，
则α+β=90°，
即有xy-2=tanαtanβ-2=tanαtan（90°-α）-2
=tanαcotα-2=1-2=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查运用三角换元求值的方法，考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查化简运算能力，属于难题．