Question

1．已知命题p：所有等差数列{a_n}的前n项和是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$，命题q：有的等比数列{a_n}的前n项和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比）．
（1）写出￢p和￢q，并判断真假．
（2）写出p∧q、p∨q、（￢p）∧q、（￢q）∨p．并判断真假．

Answer 1

分析 （1）根据命题否定的定义，可写出￢p和￢q，再由数列求和公式，得到真假；
（2）根据复合命题的定义，可写出四个命题，根据复合命题真假判断的真值表，可判断四个命题的真假；

解答 解：命题p：所有等差数列{a_n}的前n项和是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$为真命题，
公比为1时，等比数列{a_n}的前n项和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
故命题q：有的等比数列{a_n}的前n项和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比）为真命题，
（1）￢p：有的等差数列{a_n}的前n项和不是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$，为假命题；
￢q所有等比数列{a_n}的前n项和是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比），为假命题；
（2）p∧q：所有等差数列{a_n}的前n项和是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$且有的等比数列{a_n}的前n项和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比），为真命题．
p∨q：所有等差数列{a_n}的前n项和是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$或有的等比数列{a_n}的前n项和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比），为真命题．
（￢p）∧q：有的等差数列{a_n}的前n项和不是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$且有的等比数列{a_n}的前n项和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比），为假命题．
（￢q）∨p：有的等差数列{a_n}的前n项和不是S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$或有的等比数列{a_n}的前n项和不是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q是公比），为真命题．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，数列的求和公式等知识点，难度中档．