Question

4．已知函数f（x）=2^x+a•2^-x是定义域为R的奇函数．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）证明f（x）是R上是单调函数；
（Ⅲ）若对于任意的μ＞0，不等式f[（lgμ）²-lgμ²]+f[（lgμ）²-k]＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）依题意，由f（0）=0可求得实数a的值；
（Ⅱ）利用定义证明，令x₁＜x₂，作差化简后为f（x₂）-f（x₁）=（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$），再判断符号，即可证明f（x）是R上是单调（增）函数；
（Ⅲ）令t=lgμ，结合题意，利用奇函数f（x）为R上的增函数的性质，可得2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，由△=4+8k＜0，可求得k的取值范围．

解答 解：（ I）∵f（x）=2^x+a•2^-x是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，
经检验当a=-1时，f（x）是奇函数，故所求a=-1．…（2分）
（Ⅱ）f（x）=2^x-2^-x，?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{-x}_{2}}$）-（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{-x}_{1}}$）=（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$）…（4分）
∵x₁＜x₂，∴0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，即${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的递增函数，即f（x）是R上的单调函数．…（6分）
（Ⅲ）令t=lgμ，则
∵根据题设及（2）知：f（t²-2t）+f（t²-k）＞0?f（t²-2t）＞-f（t²-k）=f（k-t²）?t²-k＞k-t²?2t²-2t-k＞0，…（10分）
∴原不等式恒成立即是2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，
∴△=4+8k＜0，
∴所求k的取值范围是k＜-$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查函数恒成立问题，考查奇偶性的判定与性质的综合运用，考查运算、推理能力，属于难题．