Question

【题目】已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为.

（1）求曲线的方程；

（2）若为曲线上的两点，记， ，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）取，连结，设动圆的圆心为，由两圆相内切，得，又，从而得，由椭圆定义得椭圆方程；

（2）当轴时，易得，当与轴不垂直时，设直线的方程为，与椭圆联立得，由，得，结合韦达定理得，由利用韦达定理求解即可.

试题解析：

（1）取，连结，设动圆的圆心为，∵两圆相内切，

∴，又，

∴，

∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，∴，

∴，∴的轨迹方程为.

（2）当轴时，有， ，由，得，

又，∴， ，

∴.

当与轴不垂直时，设直线的方程为，

由得，

则， ，

由，得，∴，

整理得，

∴，

∴ ，

综上所述， 的面积为定值.