Question

如图，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=,

(1)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值；

(2)求SC与平面ABCD所成的角的余弦值.

Answer 1

解析：(1)因为AD、AB、AS是三条两两互相垂直的线段，故以A为原点，分别以AD、AB、AS的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，则A(0,0,0)、D(,0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1),AD=(,0,0)是平面SAB的法向量.设面SCD的法向量n=(1，λ，μ),则n·DC=(1，λ，μ)·(,1,0)= +λ=0.

∴λ=-.?

n·DS=(1,λ,μ)·(-,0,1)=-+μ=0.

∴μ=.

∴n=(1,-,).?

如以θ表示欲求二面角的值，则cosθ=cos〈, n〉,

·n=(,0,0)·(1,- ,)=,|AD|=,

n=,

∴cosθ= = =,sinθ=.

∴tanθ= = =.

∴面SCD与面SBA所成二面角的正切值为.

(2)∵是平面ABCD的法向量，设与之间的夹角为φ.

∵=++,?

∴·=·(++)= ·=1,

||=1,

||===.

∴cosφ= = =.

∴SC与平面ABCD所成角的余弦值为=.

温馨提示：对于(2)也可借助坐标计算线面角.像棱没有给出的二面角大小计算问题，用向量法解答十分方便.