Question

12、关于x_i（i=1，2，…，10）的方程x₁+2x₂+x₃+x₄+…+x₁₀=3的非负整数解的组数为（　　）

A、174

B、172

C、165

D、156

Answer 1

分析：本题是一个分类计数问题，若x₂=1，则x₁，x₃，x₄，…，x₁₀中有一个为1，其余为0，这种情况有C₉¹组解；若x₂=0，则x₁，x₃，x₄，…，x₁₀中可以有一个为3，其余为0，也可有一个为2，一个为1，其余为0，还可有三个为1，其余为0，写出结果．

解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，
若x₂=1，则x₁，x₃，x₄，…，x₁₀中有一个为1，其余为0，这种情况有C₉¹=9组解；
若x₂=0，则x₁，x₃，x₄，…，x₁₀中可以有一个为3，其余为0，也可以有一个为2，一个为1，
其余为0，还可以有三个为1，其余为0，这些情况有C₉¹+A₉²+C₉³=165组解，
∴原方程共有165+9=174个非负整数解．
故选A．

点评：本题考查分类计数问题，解题的关键是理解题意，能够正确的分类，抓住题目的关键即第二项的等于0和不等于0的情况．