Question

13．设函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1-2cos²x．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=-$\frac{1}{2}$，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的恒等变换应用化简可得函数解析式为f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间．
（2）由f（B+C）=sin[2（B+C）-$\frac{π}{6}$]=-$\frac{1}{2}$，可求B+C，进而可求A，利用余弦定理可求a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-bc}$，结合基本不等式可求a的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1-2cos²x
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1-（1+cos2x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间是：[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]，k∈Z…（7分）
（2）由题意f（B+C）=sin[2（B+C）-$\frac{π}{6}$]=-$\frac{1}{2}$，
∴2（B+C）-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，解得：B+C=$\frac{2π}{3}$，即A=$\frac{π}{3}$，
而a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-bc}$=$\sqrt{（b+c）^{2}-3bc}$=$\sqrt{4-3bc}$，
又由bc$≤（\frac{b+c}{2}）^{2}$=1，从而a≥$\sqrt{4-3}$=1，
∴a的最小值是1．…（14分）

点评 本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数的化简中的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了基本不等式的应用，具有一定的综合性，属于基本知识的考查．