Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=

3

．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证线与面垂直，只要证明线与面上的两条相交线垂直，找面上的两条线，再从PA⊥平面ABCD，得到结论．
（II）对于这种是否存在的问题，首先要观察出结论，再进行证明，根据线面平行的判定定理，利用中位线确定线与线平行，得到结论．

解答：证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD
在△ACD中，AD=2，CD=1，AC=

3

，∴△ACD是直角三角形，且AC⊥CD
∴CD⊥平面PAC；
（II）存在点E，
取PD中点E，连接NE，EC，AE，
∵N，E分别为PA，PD中点，
∴NE

∥ .

.

1

2

AD
又在菱形ABCD中，CM

∥ .

.

1

2

AD
∴NE

∥ .

.

MC，即MCEN是平行四边形
∴NM∥EC，
又EC?平面ACE，NM?平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，
此时 PE=

1

2

PD=

2

点评：本题以四棱锥为载体，考查空间中直线与平面之间的位置关系，关键是熟练掌握线面垂直、线面平行的判定定理．