Question

如图所示，求图中曲边梯形的面积。（只要求写出极限形式）

Answer 1

解：（1）分割：如图所示， 将区间[a，b]任意分割成n个小区间，其分点记为： x1，x2，…，xn-1，x0=a，xn=b，即x0=a＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b，每个区间记为[xi-1，xi]（i=1，2，…，n）； （2）近似代替：在每个小区间上任取一点，记为ξi（xi-1＜ξi＜xi），并记△xi=xi-xi-1， 以小区间长度△xi为底，f（ξi）为高的小矩形面积为f（ξi） △xi， 设小曲边梯形面积为△Ai（i=1，2，…，n）， 则有△Ai≈f（ξi）△xi（i=1，2，…，n）； （3）求和：将所有n个小矩形面积加起来， 得Sn=f（ξ1）△x1+f（ξ2）△x2+…+f（ξn）△xn=； （4）取极限：如果分点的数目无限增多， 且每个小区间的长度趋近于零时，和式①的极限存在， 则和式①的极限就是所求曲边梯形的面积S， 即。