Question

【题目】设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是和an的等差中项．

(1)证明：数列{an}为等差数列；

(2)若bn＝－n＋5，求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当n＝2或n＝3时，{an·bn}的最大项的值为6.

【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用项和公式推理，最后证明数列{an}为等差数列.(2)第（2）问，先计算出an·bn，再利用二次函数求它的最大值.

试题解析：

(1)证明：由已知可得2Sn＝＋an，且an>0，

当n＝1时，2a1＝＋a1，解得a1＝1；

当n≥2时，有2Sn－1＝＋an－1，

所以2an＝2Sn－2Sn－1＝-＋an－an－1，所以-＝an＋an－1，

即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1，

因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)由(1)可知an＝n，设cn＝an·bn，则cn＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＝－

因为n∈N*，当n＝2或n＝3时，{an·bn}的最大项的值为6.