Question

【题目】设函数f（x）在（-∞，+∞）上有意义，且对于任意的x，y∈R，有|f（x）-f（y）|＜|x-y|并且函数f（x+1）的对称中心是（-1，0），若函数g（x）-f（x）=x，则不等式g（2x-x2）+g（x-2）＜0的解集是（ ）.

A.B.

C.,D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由已知可知f(x)为奇函数，从而可得g(-x)也为奇函数，然后结合|f(x)-f(y)|＜|x-y|，得 ，从而可得g(x)单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．

由函数f(x+1)的对称中心是(-1，0)，可得f(x)的图象关于(0，0)对称即f(x)为奇函数，

∴f(-x)=-f(x)，

∵g(x)-f(x)=x，

∴g(x)=f(x)+x，

∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x)，

∵对于任意的x，y∈R，有|f(x)-f(y)|＜|x-y|，

∴|g(x)-g(y)-(x-y)|＜|x-y|，

∴，

即||＜1，

∴0＜＜2，

由对任意实数有得g(x)单调递增，

∵g(2x-x2)+g(x-2)＜0，

∴g(2x-x2)＜-g(x-2)=g(2-x)，

∴2x-x2＜2-x，

整理可得，x2-3x+2＞0，

解可得，x＞2或x＜1，

故选：A．