【题目】设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β),函数
(1)证明f(x)在区间(α,β)上是增函数;
(2)当a为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小.
【答案】(1)见解析,(2) 当a=0时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小.
【解析】(1)证明:设Φ(x)=2x2﹣ax﹣2,则当α<x<β时,Φ(x)<0.
f′(x)=>0,∴函数f(x)在(α,β)上是增函数.
(2)由关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β),
可得α β,f(α) ,f(β)=,
即有f(α)f(β) =﹣4<0,
函数f(x)在[α,β]上最大值f(β)>0,最小值f(α)<0,
∴当且仅当f(β)=﹣f(α)=2时,
f(β)﹣f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4,
此时a=0,f(β)=2.当a=0时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小.
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【题目】某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何设计矩形的长和宽?
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【题目】设f(x)=lg ,g(x)=ex+ ,则 ( )
A.f(x)与g(x)都是奇函数
B.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数
C.f(x)与g(x)都是偶函数
D.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
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【题目】对于函数f(x)定义域中任意的x1 , x2(x1≠x2)有如下结论
1)f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
2)f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
3) >0
4)f( )<
5)f( )>
6)f(﹣x)=f(x).
当f(x)=lgx时,上述结论正确的序号为 . (注:把你认为正确的命题的序号都填上).
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【题目】已知是椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为,过原点的直线交椭圆于两点,若四边形的面积最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于且,求证:原点到直线的距离为定值.
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【题目】已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切.
其中真命题的序号是( )
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
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【题目】已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.
(1)确定y=f(x)和y=g(x)的解析式;
(2)若对任意的x∈[1,4],不等式f(2x﹣3)+f(x﹣k)>0恒成立,求k的取值范围.
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