Question

【题目】已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设g（x）=ax（a＞0且a≠1），

∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2．∴g（x）=2x．∴f（x）= ，

∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴n=1，∴f（x）= ，（x∈R）

（2）解：由（Ⅰ）知f（x）= ，易知f（x）在R上为减函数，

又f（x）是奇函数，∴f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0，∴f（2x﹣3）＞﹣f（x﹣k）=f（k﹣x），

∵f（x）在R上为减函数，由上式得2x﹣3＜k﹣x，

即对一切x∈（1，4），有3x﹣3＜k恒成立，

令m（x）=3x﹣3，x∈（1，4），

易知m（x）在（1，4）上递增，∴m（x）＜3×4﹣3=9，

∴k≥9，即实数k的取值范围是[9，+∞）

【解析】（1）设g（x）=ax（a＞0且a≠1），由a3=8解得a=2．故g（x）=2x ． 再根据函数是奇函数，求出n的值，得到f（x）的解析式；（2）根据函数为奇函数和减函数，转化为即对一切x∈（1，4），有3tx﹣3＜k恒成立，再利用函数的单调性求出函数的最值即可．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．