Question

已知二次函数f（x）=x²-8x+q²-q+1．
（1）若在区间[-1，1]上至少存在一点m，使f（m）＜0求实数q的范围．
（2）问是否存在常数t，若x∈[3，t]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为2t．（注：区间[a，b]的长度为b-a）．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²-8x+q²-q+1=（x-4）²+q²-q-15．
f（x）对称轴为x=4，开口向上，
f（x）在[-1.1]上单调递减，要满足区间上至少存在一点m，
使f（m）＜0，
即要求f（1）＜0，f（1）=q²-q-6＜0，
（q-3）（q+2）＜0，
解得：{q|-2＜q＜3}．
（2）．f（3）=q²-q-14，
f（t）=t²-8t+q²-q+1，
f（4）=q²-q-15．
若f（3）＜f（t），
值域为[q²-q-15，t²-8t+q²-q+1]，
区间长度为t²-8t+16=2t，
解得t=2（舍去）或8．
若f（3）＞f（t），值域为[q²-q-15，q²-q-14]，
区间长度为1=2t，解得t=（舍去）．
分析：（1）f（x）=（x-4）²+q²-q-15．f（x）对称轴为x=4，开口向上，f（x）在[-1.1]上单调递减，要满足区间上至少存在一点m，使f（m）＜0，由此能求出实数q的范围．
（2）．f（3）=q²-q-14，f（t）=t²-8t+q²-q+1，f（4）=q²-q-15．由此能求出D的长度．
点评：本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．