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    设函数，其中为自然对数的底数.
    （Ⅰ）求函数的单调区间；
    （Ⅱ）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值

    解：（Ⅰ）由已知，
    所以，                                         ……………2分
    由，得，                               ……………3分
    所以，在区间上，，
    函数在区间上单调递减；                     ……………4分
    在区间上，，
    函数在区间上单调递增；                     ……………5分
    即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
    （Ⅱ）因为，
    所以曲线在点处切线为：.       ……………7分
    切线与轴的交点为，与轴的交点为， ……………9分
    因为，所以，  ……………10分
    ，                                          ……………12分
    在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.
    ……………13分
    所以，当时，有最大值，此时，
    所以，的最大值为.                                      ……………14分

    解析

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    设函数，其中，为正整数，、、均为常数，曲线在处的切线方程为.

    （1）求、、的值；

    （2）求函数的最大值；

    （3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）

     

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年江西省七校高三上学期第一次联考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数，其中a>0.

    （Ⅰ）求函数的单调区间；

    （Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数a的值；

    （Ⅲ）设，求在区间上的最大值（其中e为自然对的底数）。

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年浙江省高三12月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （满分１5分）设函数，，（其中为自然底数）；

    （Ⅰ）求（）的最小值；

    （Ⅱ）探究是否存在一次函数使得且对一切恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；

    （Ⅲ）数列中，，，求证：。

     

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    科目：高中数学 来源：陕西省模拟题 题型：解答题

    已知，函数（其中为自然对数的底数）．  
    （1）求函数在区间上的最小值；  
    （2）设，当时，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年四川省成都市模拟考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数其中为自然对数的底数， .(Ⅰ)设，求函数的最值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

    【解析】第一问中，当时，，．结合表格和导数的知识判定单调性和极值，进而得到最值。

    第二问中，∵，，      

    ∴原不等式等价于：,

    即, 亦即

    分离参数的思想求解参数的范围

    解：（Ⅰ)当时，，．

    当在上变化时，，的变化情况如下表：

     

    －

    ＋

     

    1／e

    ∴时，，．

    (Ⅱ)∵，，      

    ∴原不等式等价于：,

    即, 亦即．

    ∴对于任意的，原不等式恒成立,等价于对恒成立,

    ∵对于任意的时, （当且仅当时取等号）．

    ∴只需，即，解之得或.

    因此，的取值范围是

     

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