Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（x∈R），同时满足以下条件：
①存在实数m，使得f（m）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥0成立；
②存在实数k （k≠0），使得f（1-k）=f（1+k）成立．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=f（n），数列{b_n}满足关系式bn=an+2+

2

，问数列{b_n}中是否存在不同的3项，使之成为等比数列？若存在，试写出任意符合条件的3项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由①得，二次函数有最小值0，故

4c-b2

4

=0（2分）
二次函数的对称轴为直线x=1，故-

b

2

=1，（4分）
即b=-2，c=1f（x）=x²-2x+1
（6分）
（2）S_n=n²-2n+1（n∈N^*）∴an=

0 2n-3

n=1 n≥2，n∈N*

（2分）
∴bn=

2+ 2 2n-1+ 2

n=1 n≥2，n∈N*

（4分）
设数列的p、q、r（p＜q＜r）项使得b_p、b_q、b_r成等比数列．
（ⅰ）若p=1时，b1=2+

2

bq=(2q-1)+

2

，br=(2r-1)+

2

则b_q²=b₁•b_r∴[(2q-1)+

2

]2=(2+

2

)[(2r-1)+

2

]∴(2q-1)2+2+2

2

(2q-1)=2(2r-1)+2+(2r-1)•

2

+2

2

∴

(2q-1)2+2=4r-2+2 2(2q-1)=2r-1+2

?

(2q-1)2+2=4r 4q-2=2r+1

①②
由于②式左边为偶数，右边为奇数，显然q、r不存在．                  （3分）
（ⅱ）若1＜p＜r＜q，p、q、r∈N^*
则[(2q-1)+

2

]2=(2p-1+

2

)(2r-1+

2

)∴(2q-1)2+2+2

2

(2q-1)=(2p-1)(2r-1)+2+(2p-1+2r-1)

2

∴

(2q-1)2=(2q-1)(2r-1) 2(2q-1)=2p+2r-2

?p+r=2q?（p+r-1）²=（2p-1）（2r-1）?（p-r）²=0
∴p=r产生矛盾                                                       （7分）
综上所述，这样的三项不存在．                                          （8分）