Question

18．正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E为线段B′C上的一点，
（Ⅰ）求正方体ABCD-A′B′C′D′的内切球的半径与外接球的半径；
（Ⅱ）求三棱锥A-DED′的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，由此能求出正方体ABCD-A′B′C′D′的内切球的半径与外接球的半径．
（Ⅱ）由${V}_{A-DE{D}^{'}}$=${V}_{E-AD{D}^{'}}$，能求出三棱锥A-DED′的体积．

解答 解：（Ⅰ）∵正方体的内切球的直径为正方体的棱长，
外接球的直径为正方体的对角线长，
正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，
∴正方体ABCD-A′B′C′D′的内切球的半径为$\frac{1}{2}$，
外接球的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）∵正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E为线段B′C上的一点，
∴${S}_{△AD{D}^{'}}$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
E到平面ADD′的距离d=AB=1，
∴三棱锥A-DED′的体积：
${V}_{A-DE{D}^{'}}$=${V}_{E-AD{D}^{'}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△AD{D}^{'}}×AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查正方体的内切球和外接球半径的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．