Question

（本小题共13分）

如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。

（Ⅰ）求证：     

(Ⅱ) 求证：

（Ⅲ）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1)根据三角形的中位线，那么可以// ，然后结合线面平行的判定定理可知结论。

(2)结合已知中正方形的心智，以及，结合线面垂直的性质定理得到线线垂直。

(3)

【解析】

试题分析：（Ⅰ） , 点E为的中点,连接。

的中位线// ……2分

又

                            ……4分

（II） 正方形中, 

由已知可得：， …….6分

,                        …….7分

                                        …….8分

（Ⅲ）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

      9分

设

             10分

设平面的法向量为

则 

得            11分

取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为               12分

要使二面角的大小为         

而   

解得：

当=时，二面角的大小为   13分

考点：空间中的线面平行和线线垂直以及二面角的求解

点评：解决平行和垂直的证明，一般要用到判定定理和性质定理，然后结合空间向量法来求解二面角，属于基础题。