Question

已知f(x)＝－x³＋ax在(0，1)上是增函数；

(Ⅰ)求实数a的取值的集合A；

(Ⅱ)当a取A中的最小值时，定义数列{a_n}满足，且2a_n+1＝f(a_n)试比较a_n与a_n+1的大小？

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，问是否存在正实数c，使得0＜＜2对于一切恒成立？若存在，求出c的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解:(1)∵f(X)=-x3+ax ∴f′(x)=-3x2+a ∵x∈(0,1)时,f(x)↑ ∴x∈(0,1) f′(x)>0即a>3x2恒成立 ∴a≥3. (2)当a=3时,f(x)=-x2+3x此时,f(x)↑ ∴2an+1= f(an)=3an-an3 ∴2an+1-2an=an-an3=an(1-an2) ∴欲证 0<AN<1 当n=1时,a1=b∈(0,1)成立,假设n=k时,命题成立即ak∈(0,1) 当n=k+1时 ak+1=(3ak-ak3) 又∵0<AK<1 ∴0an (3)假设存在正数c,便以:0<0 an>c 则 an>3c <2 an+c3c 又∵0<AN0 ∴满足条件的c 0<C<存在 ∵an↑ ∴an≥an-b