【题目】如图,直线y= x与抛物线y= x2﹣4交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点,当P为抛物线上位于线段AB下方(含A,B)的动点时,则△OPQ面积的最大值为 .
【答案】30
【解析】解:直线y= x与抛物线y= x2﹣4联立,得到A(﹣4,﹣2),B(8,4),
从而AB的中点为M(2,1),
由kAB═ ,直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2(x﹣2).
令y=﹣5,得x=5,
∴Q(5,﹣5).
∴直线OQ的方程为x+y=0,设P(x, x2﹣4).
∵点P到直线OQ的距离d= = |x2+8x﹣32|,|OQ|=5 ,
∴S△OPQ= |OQ|d= |x2+8x﹣32|,|
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,
∴﹣4≤x<4 ﹣4或4 ﹣4<x≤8.
∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4,8]上单调递增,
∴当x=8时,△OPQ的面积取到最大值30.
所以答案是:30.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点,需要掌握当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减才能正确解答此题.
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【题目】各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn , 且满足:Sn= an2+ an+ (n∈N*)
(1)求an
(2)设数列{ }的前n项和为Tn , 证明:对一切正整数n,都有Tn< .
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【题目】
如图,甲向如图1所示的平面区域内随机掷点、乙向如图2所示的平面区域内随机掷点,假设点落在区域内任意一点的可能性相同.已知图1中小圆的半径是大圆半径的二分之一,图2中小正方形的顶点为大正方形各边的中点.
(1)甲、乙各掷点一次,求至少有一人掷点落在阴影区域的概率;
(2)甲、乙各掷点两次,记点落在阴影区域的次数为,求的分布列和数学期望.
图1图2
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【题目】已知函数f(x)(x∈R)满足f(﹣x)=2﹣f(x),若函数y= 与y=f(x)图象的交点为(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xm , ym),则 (xi+yi)=( )
A.0
B.m
C.2m
D.4m
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【题目】已知复数z1=m+ni(m,n∈R),z=x+yi(x,y∈R),z2=2+4i且 .
(1)若复数z1对应的点M(m,n)在曲线 上运动,求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹方程;
(2)将(1)中的轨迹上每一点按向量 方向平移 个单位,得到新的轨迹C,求C的轨迹方程;
(3)过轨迹C上任意一点A(异于顶点)作其切线,交y轴于点B,求证:以线段AB为直径的圆恒过一定点,并求出此定点的坐标.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数, ).以原点为极点,以轴正半轴为极轴,与直角坐标系取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)设为曲线上任意一点,求的取值范围;
(Ⅱ)若直线与曲线交于两点, ,求的最小值.
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