Question

【题目】

如图，甲向如图1所示的平面区域内随机掷点、乙向如图2所示的平面区域内随机掷点，假设点落在区域内任意一点的可能性相同．已知图1中小圆的半径是大圆半径的二分之一，图2中小正方形的顶点为大正方形各边的中点．

（1）甲、乙各掷点一次，求至少有一人掷点落在阴影区域的概率；

（2）甲、乙各掷点两次，记点落在阴影区域的次数为，求的分布列和数学期望．

图1图2

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）图1中阴影区域的面积为整个区域面积的，故甲向该平面区域内随机掷点，点落在阴影部分的概率为，图2中阴影部分的面积为整个区域面积的，故乙向该平面区域内随机掷点，点落在阴影部分的概率为．（3分）

记“甲掷点一次，点落在阴影区域”为事件，“乙掷点一次，点落在阴影区域”为事件，

则事件“甲、乙各掷点一次，二人至少有一人掷点落在阴影区域”的对立事件为．

所以至少有一人掷点落在阴影区域的概率为．（6分）

（2）由题可知．

；

；

；

；

．（10分）

所以的分布列为

所以．（12分）