Question

（本小题满分12分）已知圆，直线

（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点A、B；

（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；

（3）若定点P（1，1）满足，求直线的方程。

Answer 1

（1）证明见解析；（2）轨迹方程为圆；（3）或；

【解析】

试题分析：（1）由题可知，当直线与圆有两个不同的交点A、B时，圆心到直线的距离小于半径，根据性质，得到一个恒成立的不等式，证毕；（2）通过圆的几何性质，可得到三角形CMP为直角三角形，设M的坐标为（x，y），通过坐标的关系即可得到M的轨迹方程；（3）过定点的直线通常采用点斜式，将直线设为，通过，将x1求出，代回到联立方程中，即可得到m的值，由此可得到直线方程。

试题解析：（Ⅰ）圆的圆心为，半径为

∴圆心C到直线的距离

∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点； 4分

（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，

∴

设，则，

化简得：

当M与P重合时，也满足上式。因此，弦AB的中点M的轨迹方程为

设则轨迹是半径为的圆

（Ⅲ）设，由得，

∴，化简的 ①

又由消去得 （*）

∴ ②

由①②解得，带入（*）式解得，

所以直线的方程为或 12分

考点：?直线与圆的位置关系?圆的几何性质