Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 A为锐角，若f(A)=cos2

A

2

-sin2

A

2

+2

3

cos

A

2

sin

A

2

．
（Ⅰ） 求f（A）的取值范围；
（Ⅱ） 若f(A)=

3

，c=2

3

b，求sinB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简f（A）的表达式为一个角的一个三角函数的形式，根据A是三角形的内角，然后确定f（A）取值范围；
（Ⅱ） 若f(A)=

3

，c=2

3

b，求出A的大小，利用正弦定理以及B，C的关系，求sinB的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(A)=2

3

sin(

π

2

-

A

2

)sin(π+

A

2

)+cos2(

π

2

-

A

2

)-cos2(π-

A

2

)=cos2

A

2

-sin2

A

2

+2

3

cos

A

2

sin

A

2

=

3

sinA+cosA，（2分）
=2sin(A+

π

6

)，（4分）
∵0＜A＜

π

2

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

2π

3

，
∴f(

π

6

)＜f(A)≤f(

π

2

)，
∴f（A）的取值范围是（1，2]．（6分）
（Ⅱ）∵f(A)=

3

，
∴sin(A+

π

6

)=

3

2

，
∵0＜A＜

π

2

，
∴A+

π

6

=

π

3

，即A=

π

6

，（8分）
∴B+C=

5

6

π，
∵c=2

3

b，∴sinC=2

3

sinB，（9分）
∴sin(

5

6

π-B)=2

3

sinB，（10分）
∴sin

5

6

πcosB-cos

5

6

πsinB=2

3

sinB，
∴3

3

sinB=cosB，（11分）
∵sin²B+cos²B=1，
∴sinB=

7

14

．（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式、两角和的正弦函数的应用，注意三角形内角的应用，正弦定理的考查，常考题型．