Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{2k{x^2}}}{x+1}，x∈（{\frac{1}{2}，1}]\\-\frac{1}{3}x-\frac{1}{12}，x∈[{0，\frac{1}{2}}]\end{array}$，g（x）=$\frac{{4{x^2}-12x-3}}{2x+1}（{0≤x≤1}）$，其中实数k为常数．
（1）求g（x）的值域．
（2）若函数f（x）是区间[0，1]的单调函数，求实数k的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若对任何x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[0，1]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令2x+1=t（1≤t≤3），则2x=t-1，将g（x）转化为对号函数的单调性，可得值域；
（2）由一次函数的单调性，可得f（x）在[0，1]递减，进而判断x∈（$\frac{1}{2}$，1]递减，转化为对号函数判断k＜0，再由x=$\frac{1}{2}$的情况，得到不等式，求得k的范围；
（3）求得f（x）的值域，再由条件可得g（x）的值域⊆f（x）的值域，即有[-4，-3]⊆[k，$\frac{k}{3}$）．即为k≤-4且-3＜$\frac{k}{3}$，即可求得k的范围．

解答 解：（1）令2x+1=t（1≤t≤3），则2x=t-1，
即有g（x）=$\frac{{t}^{2}-8t+4}{t}$=t+$\frac{4}{t}$-8，在[1，2]递减，在[2，3]递增，
即有t=2取得最小值-4，t=1取得最大值-3．
则g（x）的值域为[-4，-3]；
（2）当x∈[0，$\frac{1}{2}$]，f（x）递减，则f（x）是区间[0，1]的单调减函数，
当x∈（$\frac{1}{2}$，1]时，f（x）=$\frac{2k（t-1）^{2}}{t}$（t=x+1∈（$\frac{3}{2}$，2]）=2k（t+$\frac{1}{t}$-2），
由于t+$\frac{1}{t}$在（$\frac{3}{2}$，2]递增，则k＜0，
又f（x）在[0，1]递减，即有$\frac{2k•\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{2}}$≤-$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$，
解得k≤-$\frac{3}{4}$；
（3）当x∈[0，$\frac{1}{2}$]，f（x）∈[-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{12}$]；
当x∈（$\frac{1}{2}$，1]，f（x）=2k（t+$\frac{1}{t}$-2）（$\frac{3}{2}$＜t≤2），
可得f（x）∈[k，$\frac{k}{3}$）．（k≤-$\frac{3}{4}$），
即有f（x）的值域为[-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{12}$]∪[k，$\frac{k}{3}$）．
又g（x）的值域为[-4，-3]，
由对任何x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[0，1]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，
可得g（x）的值域⊆f（x）的值域，
即有[-4，-3]⊆[k，$\frac{k}{3}$）．
即为k≤-4且-3＜$\frac{k}{3}$，
解得-9＜k≤-4．
则k的范围是（-9，-4]．

点评 本题考查分段函数的性质和运用，主要考查函数的单调性及运用，同时考查任意存在性问题转化为函数的值域的关系，属于中档题和易错题．