Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求直线BC与平面APB所成角的正弦值
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.

Answer 1

（I）       取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.          ……………1
∵AC=BC,
∴CD⊥AB.           ……………2
∵PD∩CD=D,
∴AB⊥平面PCD.      ……………3
∵PC∩平面PCD.
∴PC⊥AB.             ……………4

（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥BC.
∴PC⊥BC.
又∠ACB=90°,即AC⊥BC.
且AC∩PC＝C,
∴BC⊥平面PAC.
取AP中点E，连结BE，CE.
∵AB＝BP，
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影.
∴CE⊥AP.
∴∠EBC是直线BC与平面APB所成的角                       ……………6
在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝AB＝，
sin∠EBC==                                        ……………8

(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，
∴平面APB⊥平面PCD.
过C作CH⊥PD，垂足为H.
∵平面APB∩平面PCD＝PD，
∴CH⊥平面APB.
∴CH的长即为点C到平面APB的距离，                           ……………10
由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，
且AB∩AC＝A.
∴PC⊥平面ABC.
CD平面ABC.
∴PC⊥CD.
在Rt△PCD中，CD＝
∴PC＝
∴CH=
∴点C到平面APB的距离为

略