Question

非空集合G关于运算⊕满足：①对于任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；②存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为和谐集，现有下列命题：
①G={a+bi|a，b为偶数}，⊕为复数的乘法，则G为和谐集；
②G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，则G不是 和谐集；
③若⊕为实数的加法，G⊆R且G为和谐集，则G要么为0，要么为无限集；
④若⊕为实数的乘法，G⊆R且G为和谐集，则G要么为0，要么为无限集，其中正确的有    ．

Answer 1

【答案】分析：根据已知中关于和谐集的定义：非空集合G关于运算⊕满足：①对于任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；②存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，我们利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得到答案．
解答：解：对于G={a+bi|a，b为偶数}，⊕为复数的乘法，则根据偶数的和还是偶数，故满足条件①，但不存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，不满足条件②，
故①“G={a+bi|a，b为偶数}，⊕为复数的乘法，则G为和谐集”不正确；
对于G={二次三项式}，若a、b∈G时，a，b的两个同类项系数，则其和不再为三项式，故G不是 和谐集，故②正确；
对于⊕为实数的加法，G⊆R且G为和谐集，G要么为{0}时满足要求，若G中存在不为0的实数元素，则必为无限集，故③正确；
若⊕为实数的乘法，G⊆R且G为和谐集，则G可以为{0}，也可以为{0，1}，故④错误；
故答案为：②③
点评：此题以集合为载体，通过新定义“融洽集”，解决这类型题目时，心情平和是很重要的，对于每个小题，采用把这里的运算⊕换成每个小题给出的运算，逐个验证就可得出正确答案．从这个题可以看出，对于常见的集合中的特殊元素，我们应该引起足够的重视．