Question

【题目】如图，椭圆 =1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，满足Mm= a2 ．

（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点．记△GFD的面积为S1 ， △OED的面积为S2 ， 求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设F（﹣c，0）（c＞0），则根据椭圆性质得M=a+c，m=a﹣c，而 ，所以有 ，即a2=4c2，a=2c，

因此椭圆的离心率为

（2）解：由（1）可知a=2c， ，椭圆的方程为 ．

根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为y=k（x+c），

并设A（x1，y1），B（x2，y2）则由 消去y并整理得（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2﹣12c2=0

从而有 ，

所以 ．

因为DG⊥AB，所以 ， ．

由Rt△FGD与Rt△EOD相似，所以 ．

令 ，则t＞9，从而 ，即 的取值范围是 ．

【解析】（1）过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M=a+c，|BF|的最小值是m=a﹣c，结合Mm= a2即可求出离心率；（2）设过焦点F的直线AB的方程为y=k（x+c），与椭圆方程联立，进而表示出点G、点D，然后表示出面积，从而求出