Question

（2012•泰安二模）已知函数f(x)=(sin

x

2

+cos

x

2

)2-2sin2

x

2

．
（I）若f(x)=

2 3

3

，求sin2x的值；
（II）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值与单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）将函数f（x）展开，再用降次公式化简整理，得f（x）=sinx+cosx．将f(x)=

2 3

3

平方，再结合同角三角函数基本关系和正弦的二倍角公式，可得sin2x的值；
（II）将函数f（x）和f（-x）表达式代入，得函数F（x）=1+sin2x+cos2x，化简得：F（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1．由此结合正弦函数最值和单调区间的结论，可得函数F（x）的最大值与单调递增区间．

解答：解：f(x)=(sin

x

2

+cos

x

2

)2-2sin2

x

2

=1+2sin

x

2

cos

x

2

-（1-cosx）
∴f（x）=sinx+cosx
（I）f（x）=sinx+cosx=

2 3

3

，两边平方得（sinx+cosx）²=

4

3

∴1+2sinxcosx=

4

3

，可得2sinxcosx=

1

3

，即sin2x=

1

3

（II）∵f（x）•f（-x）=（sinx+cosx）（-sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x，
f²（x）=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=1+sin2x
∴函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）=1+sin2x+cos2x，
化简，得数F（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1
当2x+

π

4

=

π

2

+2kπ时，即x=

π

8

+kπ（k∈Z）时，函数F（x）的最大值为

2

+1
令-

π

2

+2kπ＜2x+

π

4

＜

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

3π

8

+kπ＜x＜

π

8

+kπ
∴函数F（x）单调递增区间为（-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ）．

点评：本题将已知三角函数式化简，并求与之相关的另一个函数的最值和单调区间，着重考查了同角三角函数基本关系、三角函数的最值和三角函数中的恒等变换应用等知识，属于中档题．