Question

11．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$•2a•2b=4$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，由此解得a，b．即可得出．
（Ⅱ）点B在以MN为直径的圆内．分析如下：
方法1：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．设M（x₀，y₀）．又点M异于顶点A、B，可得-2＜x₀＜2．由P、A、M三点共线可以得P．可得$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BP}$＞0，即可证明．
方法2：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差．|BQ|²-$\frac{1}{4}$|MN|²=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂，两直线AP与BP的交点P在直线x=4上，可得$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，化简后可得|BQ|²-$\frac{1}{4}$|MN|²＜0，即可证明．

解答 解：（Ⅰ）依题意得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$•2a•2b=4$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，由此解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
所以椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）点B在以MN为直径的圆内．证明如下：
方法1：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．设M（x₀，y₀）．
∵M点在椭圆上，∴y₀²=$\frac{3}{4}$（4-x₀²）．　①
又点M异于顶点A、B，∴-2＜x₀＜2．
由P、A、M三点共线可以得P$（4，\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）$．
从而$\overrightarrow{BM}$=（x₀-2，y₀），$\overrightarrow{BP}$=$（2，\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）$．
∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BP}$=2x₀-4+$\frac{6{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{2}{{x}_{0}+2}$（x₀²-4+3y₀²）．　②
将①代入②，化简得$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BP}$=$\frac{5}{2}$（2-x₀）．
∵2-x₀＞0，∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BP}$＞0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内．
方法2：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则-2＜x₁＜2，-2＜x₂＜2，又MN的中点Q的坐标为$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）$，
依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差
|BQ|²-$\frac{1}{4}$|MN|²=$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}-2）^{2}$+$（\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$[（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²]
=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂　③
直线AP的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），直线BP的方程为y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x-2），
而两直线AP与BP的交点P在直线x=4上，
∴$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，即y₂=$\frac{3（{x}_{2}-2）{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$　④
又点M在椭圆上，则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，即y₁²=$\frac{3}{4}$（4-x₁²）　⑤
于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ|²-$\frac{1}{4}$|MN|²=$\frac{5}{4}$（2-x₁）（x₂-2）＜0．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．