Question

9．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0，$\sqrt{2}$b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则$\sqrt{2}$b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由线段AC的垂直平分线过点B，结合对称性可得△ABC为等边三角形，
则$\sqrt{2}$b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2a，
即b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{3}{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用平面几何的性质，以及双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．